最长递增子序列 LIS
动态规划，O(n^2)
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
// 设dp[i]表示以nums[i]结尾的nums[0..i]的最长递增子序列长，
// dp[i] = max{1, dp[j]+1 | 0<=j<i且nums[j]<nums[i] }
// 所求为 max{dp[i]}
const int N = nums.size();
vector<int> dp(N, 1);
int ans = 0;
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
ans = max(ans, dp[i]);
}
return ans;
}
贪心法，O(nlgn)
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
vector<int> tails; // 保存各长度LIS的最小尾元素，是个递增数组
for (int num : nums) {
// 在tails[]中找第一个>=num的数
auto it = lower_bound(tails.begin(), tails.end(), num);
if (it != tails.end()) *it = num; // 若找到，则用num替换该项（末尾变小、LIS长度不变）
else tails.push_back(num); // 若找不到，说明所有尾元素都<num，可扩展序列
}
return tails.size();
}
长宽同时递增的最长子序列
- https://leetcode.com/problems/russian-doll-envelopes/
int maxEnvelopes(vector<vector<int>>& envelopes) {
// 长宽同时递增的最长子序列
// 按width排序，然后根据height找最长递增子序列
// width相等时按照height递减排序，能避免选中[3,4],[3,5]这种情况
sort(envelopes.begin(), envelopes.end(), [](vector<int>& a, vector<int>& b) {
return a[0] < b[0] || (a[0] == b[0] && a[1] > b[1]);
});
// 根据height找LIS，O(nlgn)
vector<int> tails; // 各长度LIS的最小尾元素
for (auto& e : envelopes) {
int height = e[1];
auto it = lower_bound(tails.begin(), tails.end(), height);
if (it != tails.end()) {
*it = height;
} else {
tails.push_back(height);
}
}
return tails.size();
}
任意两数可整除的最大子集
vector<int> largestDivisibleSubset(vector<int>& nums) {
// 先排序数组。nums[i]能整除某子集的所有值 <=> nums[i]能整除该子集最大值
// 设dp[i]表示以nums[i]结尾的nums[0..i]的最大可整除子集长，
// 若 nums[i] % nums[j] == 0，j < i，则 dp[i] = max(dp[j]+1)
sort(nums.begin(), nums.end());
const int N = nums.size();
vector<int> dp(N, 1);
vector<int> prev(N, -1);
int maxlen = 0, maxidx = -1;
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] % nums[j] == 0) { // 能扩展
if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
dp[i] = dp[j] + 1;
prev[i] = j;
}
}
}
if (dp[i] > maxlen) {
maxlen = dp[i];
maxidx = i;
}
}
vector<int> ans;
for (int i = maxidx; i != -1; i = prev[i]) {
ans.push_back(nums[i]);
}
reverse(ans.begin(), ans.end());
return ans;
}
最长递增子序列的个数
int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
if (nums.empty()) return 0;
const int N = nums.size();
vector<int> len(N, 1); // 以nums[i]结尾的递增子序列长度
vector<int> cnt(N, 1); // ... 个数
int longest = INT_MIN, ans = 0;
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
if (len[j] + 1 > len[i]) { // 新的最长
len[i] = len[j] + 1;
cnt[i] = cnt[j];
} else if (len[j] + 1 == len[i]) { // 已知最长
cnt[i] += cnt[j];
}
}
}
if (len[i] > longest) {
longest = len[i];
ans = cnt[i];
} else if (len[i] == longest) {
ans += cnt[i];
}
}
return ans;
}
最长和谐子序列
和谐子序列指子序列的最大最小值相差1，即子序列的值只在范围[x..x+1]内。
只需遍历各个值x，找cnt[x]+cnt[x+1]的最大值。
int findLHS(vector<int>& nums) {
unordered_map<int, int> cnt;
for (int num : nums) {
cnt[num]++;
}
int ans = 0;
for (auto& [x, _] : cnt) {
if (!cnt.count(x+1)) continue;
ans = max(ans, cnt[x] + cnt[x+1]);
}
return ans;
}